日程と会場
- 2025年 9月1日(月) 2日(火)
- 場所：東京科学大学大岡山キャンパス本館 201 室 (科学大本館内の地図)
- 黒板、プロジェクターが使えます
- 会場ではeduroamが使えます。
講演予定者
- 佐々木淳氏（東京科学大）
- 陣内智史氏（阪大）
- 橋本義規氏（大阪公立大）
- 羽田洋平氏（京大）
- 宮武夏雄氏（東北大）
- 村上怜氏（東北大）
スケジュール
9月1日(月)
橋本義規 (Yoshinori Hashimoto), Rapid review of Uhlenbeck compactness
Uhlenbeck compactnessとは，雑に言うと，ベクトル束上の接続の列に対して曲率が一様に抑えられているならば収束部分列が取れるという定理である． この定理には様々なバージョンが知られており，曲率に対する条件や収束の意味など，主張の内容は微妙に異なる． 本講演では，以後の講演に用いられる可能性のあるものを，証明のアイデアとともに時間の許す限り紹介する．
文献：
Donaldson-Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, OUP.
Nakajima, Compactness of the moduli space of Yang-Mills connections in higher dimensions. J. Math. Soc. Japan 40 (1988), no. 3, 383--392.
Wehrheim, Uhlenbeck Compactness, EMS.
Mathoverflow
村上怜 (Rei Murakami), Regularity of the Yang-Mills flow
Yang-Mills接続は曲率のL^2ノルムで定義される汎函数の臨界点である． この汎函数の勾配流としてYang-Mills flow (YMF)が定義される． 本講演では，YMFの正則(C^\infty)収束について解説する（Theorem A，修正可能性については述べない）． すなわち，Uhlenbeckのコンパクト性定理からYMFの弱収束が得られるが，その正則収束域を決定する． 証明では，曲率の局所C^0評価である\epsilon-正則性定理(Theorem4,4’)が重要になる．
文献: Hong and Tian, "Asymptotical behaviour of the Yang-Mills flow and singular Yang-Mills connections", Math. Ann. (2004)
羽田洋平 (Yohei Hada), Algebraic tangent cones of reflexive sheaves
概要: n次元Kähler多様体$(X,g)$とその上の点$x$でのみ特異点を持ちうるような反射的連接層$E$, 及びその上のadmissible Hermite-Einstein接続$A$の組み$(X,E,A)$が与えられた時, 点$x$の周りを拡大してUhlenbeck極限を取ると$\mathbb{C}^n$上の反射的連接層$E_\infty$とその上の admissible Hermite-Einstein接続$A_\infty$が現れる. また極限として得られる反射的連接層は$\mathbb{C}^*$-同変であり, したがってある$\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{C})$上の反射的連接層$F$が存在して, $E_\infty$は$F$の射影$\mathbb{C}^n-\{0\}\to \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{C})$での引き戻し(の$\mathbb{C}^n$への押し出し)になっている. さらに, $F$は安定連接層の直和になっており, $A_\infty$は各直和成分に乗るHermite-Einstein接続 (の適切な$\mathbb{O}(1)$上のFS接続によるツイスト)の引き戻しの直和になっている. つまり, $(E_\infty,A_\infty)$は$\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{C})$上のある反射的連接層という代数的な情報から出てくることがわかる(文献1,2). そこで, 文献3にて, 反射的連接層のalgebraic tangent coneと呼ばれる対象が定義され, その性質が議論された. 本講演では, 文献3に沿って, 反射的連接層のalgebraic tangent coneの定義及び性質について解説する.
文献：
1. Xuemiao Chen and S. Sun. Singularities of Hermitian-Yang-Mills connections and the Harder-Narasimhan-Seshadri filtration. arXiv:1707.08314, 2017
2. Xuemiao Chen and Song Sun. Analytic tangent cones of admissible hermitian yang–mills connections. Geometry and Topology, Vol. 25, No. 4, p. 2061–2108, July 2021. arXiv
3. Xuemiao Chen and Song Sun. Algebraic tangent cones of reflexive sheaves. International Mathematics Research Notices, Vol. 2020, No. 24, p. 10042–10063, December 2018. arXiv
陣内智史 (Satoshi Jinnouchi), The Kobayashi-Hitchin correspondence on singular Kähler varieties
小林ヒッチン対応とは, 反射的連接層のslope安定性とその上のadmissible エルミート•ヤンミルズ(HYM)計量の存在の同値性のことである. 本講演では, Xuemiao Chenによって示された, コンパクト正規ケーラー多様体X上の反射的連接層Eにおける小林ヒッチン対応の証明を解説する. 証明のアイデアは, Xの特異点解消Y上のHYM接続の列A_iのUhlenbeck limit としてEのHYM接続を構成する, というものである. Uhlenbeck limit をとる過程でEの正則構造もGL(E)の作用によりtwistされる.従って, このGL(E)の作用を解析することが重要となる. ケーラー類の重要な一般化としてネフかつ巨大類がある。小林ヒッチン対応はネフかつ巨大類においても定式化される。 本講演においては可能な限りこの一般化についても議論したい。
文献: Xuemiao Chen, Admissible Hermitian-Yang-Mills connections over normal varieties, Mathematische Annalen (2025).
9月2日(火)
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9:00 - 10:30
宮武夏雄 (Natsuo Miyatake), Kobayashi–Hitchin correspondence for analytically stable bundles
Simpsonは1988年に出版された論文(``Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization," JAMS) で、解析的安定性(analytic stability)という概念を導入し、所謂Donaldson--Uhlenbeck--Yauの定理を、 適当な条件を満たす有限体積の開K\"ahler多様体まで拡張しました。 Simpsonのその論文では、多様体・ベクトル束が群作用を持つ場合への拡張、Higgs場の導入、 それらの応用としてフィルトレーション付き平坦束の構成や一意化定理の確立、などもなされていますが、 この開K\"ahler多様体への拡張、の部分がその論文における最も重要な洞察の一つだったのではないかと思います。 今回の講演では、望月拓郎先生による、Simpsonのその結果の底多様体に関する条件を体積無限大のK\"ahler多様体を含む場合まで拡張した定理と、 その拡張により新たに含まれる具体例の紹介を行います。定理の証明では、開K\"ahler多様体を境界付き多様体の列により近似し、 Hermite-Einstein方程式の大域解を境界付き多様体上のDirichlet問題の解の列の極限として構成する方法が用いられます。
文献:
1. C. T. Simpson, ``Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization." Journal of the American Mathematical Society (1988): 867-918.
2. T. Mochizuki, ``Kobayashi–Hitchin correspondence for analytically stable bundles." Transactions of the American Mathematical Society 373.1 (2020): 551-596. -
11:00 - 12:30
佐々木淳 (Jun Sasaki), Deformation of holomorphic-Higgs triple
正則ベクトル束Eに対して, EのHiggs場とは, EndEに値をとる正則1-形式であって可積分条件を満たすもののことをいう. EにHiggs場が与えられたとき, それらの組のことをHiggs束といい, holomorphic-Higgs tripleとは, コンパクトな複素多様体とその上のHiggs束の三つ組のことをいう. 本講演では, DGLA (differential graded Lie algebra) を用いたholomorphic-Higgs tripleの変形ついて解説する. DGLAを用いた変形へのアプローチでは, Maurer-Cartan方程式とよばれる方程式の解が変形の情報として現れ, 今回扱う対象だけでなく, 様々な構造の変形を統一的に扱うことのできるものとして知られている. 更に, 本講演ではholomorphic-Higgs tripleに対する倉西族を構成する方法についても解説する. DGLAの2次のコホモロジーを障害の変形といい, Maurer-Cartan方程式の解のうち, 変形の障害が消えるものを局所的にパラメータ表示した空間のことを倉西空間という. この空間を変形のパラメータとする変形族のことを倉西族という.
文献: Takashi Ono, Differential geometric approach to the deformation of a pair of complex manifolds and Higgs bundles, Pacific J. Math. (2024) - 午後 自由討論
世話人
橋本義規（大阪公立大） 中村聡（科学大） 四ッ谷直仁（静岡大） 青井顕宏（和歌山高専）本多宣博（科学大）
本ワークショップは，大阪公立大学数学研究所（文部科学省共同利用・共同研究拠点
「数学・理論物理の協働・共創による新たな国際的研究・教育拠点」JPMXP0723833165，
大阪公立大学戦略的研究推進事業：国際研究拠点形成支援）の共同利用・共同研究の一環として開催されます。
本ワークショップの開催にあたり、科研費基盤(C) 22K03308 から補助を受けています
過去の記録
第1回 (2020年度実施)
第2回 (2021年度実施)
第3回 (2022年度実施)
第4回 (2023年度実施)
第5回 (2024年度実施)
